Dossier des quatre sujets de recherche
Brochure complète (5 pages) contenant la charte de recherche et le détail des 4 énigmes.
Brochure 5 pages
Édition 2026–2027
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Travail authentique
Ni internet, ni IA. Une conjecture inachevée découverte par soi-même a infiniment plus de valeur qu'un texte copié sans compréhension.
Le chemin prime
En sciences, la preuve rigoureuse prime sur le résultat brut. Les exemples guident l'intuition, mais ne constituent pas une preuve indiscutable.
Forger des questions
Faire de la recherche, c'est dépasser l'énoncé, adapter les contraintes, tester des cas limites et noter toutes ses erreurs dans son carnet.
Sujet 1
Sujet proposé par Benoît Rittaud
Puissance 3
Un duel stratégique sur une ligne
Sur un plateau composé de cases alignées, deux joueurs posent tour à tour un jeton de même couleur sur une case libre. Le premier joueur qui aligne trois jetons consécutifs remporte instantanément la partie !
Pistes d'exploration
- Étudier les petites grilles ($n = 3, 4, 5$) : qui possède une stratégie gagnante ?
- Exploiter la symétrie du plateau pour contrer le premier joueur.
- Variantes : plateau fermé en anneau circulaire, 2 couleurs ou 3 joueurs.
Théorie des jeux
Stratégies impartiales
Arbre des possibles
Sujet 2
Sujet proposé par Benoît Rittaud
Carrés emboîtés de nombres
L’inévitable chute vers zéro ?
Quatre entiers sont placés aux sommets d’un carré. Au milieu de chaque côté, on note la différence positive entre les deux sommets reliés pour former un sous-carré. L’opération est itérée jusqu'à atteindre quatre zéros : $(0, 0, 0, 0)$.
Pistes d'exploration
- Chute garantie : tombe-t-on toujours sur $(0,0,0,0)$ quel que soit le quadruplet initial ?
- Analyser l'évolution de la parité (pair / impair) au fil des itérations.
- Généraliser aux polygones impairs (triangle, pentagone) et aux nombres décimaux.
Suites de Ducci
Arithmétique modulaire
Code Scratch / Python
Sujet 3
Sujet proposé par Benoît Rittaud
Plein de rectangles
Compter sans oublier, ni compter deux fois
Sur une grille quadrillée, on dénombre l’ensemble des carrés et de tous les rectangles formés par les lignes du quadrillage. Par exemple, une grille $2 \times 2$ contient 5 carrés et 4 rectangles non carrés (soit 9 rectangles au total).
Pistes d'exploration
- Dénombrer rigoureusement les carrés et les rectangles sur une grille carrée $n \times n$.
- Généraliser le comptage à une grille rectangulaire de dimensions $p \times q$.
- Variantes : carrés de côté impair, grilles trouées ou carrés inclinés.
Combinatoire
Pavages & Dénombrement
Sommes de carrés
Sujet 4
D’après Cyrielle Ospel (2024–2025)
Quelle est mon adresse ?
L’équilibre parfait des numéros de rue
Dans une rue numérotée consécutivement de $1$ à $n$, la somme des numéros situés à gauche d'une maison d'adresse $k$ est exactement égale à la somme des numéros situés à sa droite. Par exemple, pour $n = 8$, la maison $k = 6$ réalise l'équilibre ($1+2+3+4+5 = 15 = 7+8$).
Pistes d'exploration
- Établir le lien fondamental avec les carrés et les nombres triangulaires : $k^2 = \frac{n(n+1)}{2}$.
- Trouver les maisons d'équilibre pour des rues plus longues ($n = 49$, $n = 288$).
- Observer le ratio remarquable $\frac{k}{n}$ et tester les solutions par algorithme.
Énigme de Ramanujan
Nombres triangulaires
Fractions continues